Механические колебания. Параметры колебательного движения. Механические колебания Колебания кратко
Механические колебания
1. Механические колебания
1.1 Механические колебания: гармонические, затухающие и вынужденные колебания
1.2 Автоколебания
1.3 Разложение колебаний в гармонический спектр. Применение гармонического анализа для обработки диагностических данных
1.4 Механические волны, их виды и скорость распространения
1.5 Энергетические характеристики волны
Список использованных источников
1. Механические колебания
1.1 Механические колебания: гармонические, затухающие и вынужденные колебания
Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости (качание маятника часов, колебания струны или ножек камертона, напряжение между обкладками конденсатора в контуре радиоприемника, работа сердца).
В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электромагнитные, электромеханические и т.д. Мы будем рассматривать механические колебания. Колебания, происходящие при отсутствии трения и внешних сил, называются собственными; их частота зависит только от свойств системы.
Простейшими являются гармонические колебания, т.е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, отклонение маятника) изменяется со временем по закону синуса или косинуса.
Дифференциальное уравнение гармонического колебания
Рассмотрим простейшую колебательную систему: шарик массой m подвешен на пружине.
В этом случае упругая сила F1 уравновешивает силу тяжести mg. Если сместить шарик на расстояние х , то на него будет действовать большая упругая сила (F1 + F). Изменение упругой силы по закону Гука пропорционально изменению длины пружины или смещению шарика х:
где k - жесткость пружины. Знак "-" отражает то обстоятельство, что смещение и сила имеют противоположные направления.
где (w 0 t + a 0) = a - фаза колебаний; a 0 - начальная фаза при t = 0; w 0 - круговая частота колебаний; A - их амплитуда.
Итак, смещение x изменяется со временем по закону косинуса.
Следовательно, движение системы, находящейся под действием силы вида f = - kx, представляет собой гармоническое колебание.
Для пружинного маятника получаем:
Круговая частота связана с обычной n соотношением: .
Энергия при гармоническом колебании
Выясним, как изменяется со временем кинетическая Еk и потенциальная Еп энергия гармонического колебания. Кинетическая энергия равна:
, (4)где k = m w 0 2 .
Потенциальную энергию находим из формулы потенциальной энергии для упругой деформации и используя (3):
(5)Складывая (4) и (5), с учетом соотношения
, получим:E = E K + E П =
. (6)Таким образом, полная энергия гармонического колебания остается постоянной в отсутствие сил трения, во время колебательного процесса кинетическая энергия переходит в потенциальную и наоборот.
Затухающие колебания
Колебания, происходящие в системе при отсутствии внешних сил (но при наличии потерь на трение или излучение), называются свободными. Частота свободных колебаний зависит от свойств системы и интенсивности потерь.
Наличие трения приводит к затухающим колебаниям. Колебания с убывающей амплитудой называются затухающими.
Допустим, что на систему, кроме квазиупругой силы, действуют силы сопротивления среды (трения), тогда второй закон Ньютона имеет вид:
. (7)Ограничимся рассмотрением малых колебаний, тогда и скорость системы будет малой, а при небольших скоростях сила сопротивления пропорциональна величине скорости:
, (8)где r - коэффициент сопротивления среды. Знак " - " обусловлен тем, что F тр и V имеют противоположные направления.
Подставим (8) в (7). Тогда
илиОбозначим
,
где b - коэффициент затухания, w 0 - круговая частота собственных колебаний. Тогда
Решение этого уравнения существенно зависит от знака разности: w 2 = w 0 2 -b 2 , где w - круговая частота затухающих колебаний. При условии w 0 2 -b 2 > 0, w является действительной величиной и решение (3) будет следующим:
График этой функции дан на рисунке.
Рис. 2. Затухающие колебания.
Пунктиром изображено изменение амплитуды: A = ±A 0 e - b t .
Период затухающих колебаний зависит от коэффициента трения и равен:
(11)При незначительном сопротивлении среды (b2 < Из формулы, выражающей закон убывания амплитуды колебаний, можно убедиться, что отношение амплитуд, отделенных друг от друга интервалом в один период (Т), остается постоянным в течение всего процесса затухания. Действительно, амплитуды колебаний, отделенные интервалом в один период, выражаются так: Это отношение называют
этого отношения:
Эта величина носит название логарифмического декремента затухания за период.
При сильном затухании b 2 > w02 из формулы (11) следует, что период колебания является мнимой величиной. Движение при этом носит апериодический (непериодический) характер - выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. Каким из этих способов приходит система в положение равновесия, зависит от начальных условий.
Вынужденные колебания. Резонанс
Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы). Пусть вынуждающая сила изменяется со временем по гармоническому закону: f = F0 cosW t , где F0 - амплитуда, W - круговая частота вынуждающей силы.
При составлении уравнения движения нужно учесть, кроме вынуждающей силы, также те силы, которые действуют в системе при свободных колебаниях, то есть квазиупругую силу и силу сопротивления среды. Тогда уравнение движения (второй закон Ньютона) запишется следующим образом:
Разделив это уравнение на m и перенеся члены с dx и d 2 x в левую часть получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка.
Следует уделить время небольшому очерку, посвященному колебательному движению. Но прежде необходимо ответить на один важный вопрос. Что понимают под механическими колебаниями? Под ними подразумевают движение, во время которого наблюдаемое тело неоднократно занимает одни и те же положения в пространстве.
Физики различают непериодические и периодические колебания. К первым относят те из них, при которых координаты и другие характеристики тела не поддаются описанию с помощью периодических функций времени. Со вторым видом проще. Периодические колебания - это те, которые можно описать с помощью периодических функций времени. Но что под ними подразумевают? В физике также под колебаниями часто понимают процессы, в определённой степени повторяемые во времени. И отдельно относительно рассматриваемой темы следует сказать следующее. Механические колебания условно можно классифицировать таким образом:
- В зависимости от условий возникновения:
- Вынужденные;
- Автоколебания;
- Свободные.
- В зависимости от изменения кинетической энергии во времени:
- Гармонические;
- Пилообразные;
- Затухающие.
В статье будут рассмотрены не все, а только некоторые типы колебаний. Отдельно стоит сказать о формулах, их использовании и разнообразии. Если кратко, то их много. Разнообразие, в котором представлены механические колебания, формулы определения их параметров подтолкнули ученых к созданию отдельных справочников, рассчитанных на определённые ситуации. Придумывать самостоятельно, таким образом, ничего не надо. При создании колебательной системы необходимо будет всего потратить полчаса или час на то, чтобы найти формулу под конкретную ситуацию.
Характеристика механических колебаний
Для характеристики механических колебаний используются физические величины, которые позволяют получить необходимые данные. Амплитуда колебания - наибольшее отклонение тела, которое качается от начального значения положения. А что такое период? В нем колебания - это время, которое необходимо телу, чтобы повторить все свои движения, или другими словами, необходимое для совершения одного повторения движения. Что подразумевают под частотой? Под ней понимают число, равное количеству колебаний, совершенных за одну единицу времени. Зачастую в домашних, школьных и университетских опытах за частоту принимают одну секунду. Циклическая частота часто используется вместо понятия количества колебаний, произошедших за единицу времени, и подразумевает его подсчёт, необходимый на совершение одного такого цикла.
Гармонические механические колебания
Под гармоническими колебаниями подразумеваются те из них, физическая величина которых, выбранная для характеристики, изменяется на временном интервале в виде синусоидальной кривой, которую легко отобразить в графическом режиме. При изменении координаты материальной точки, согласно гармоническому закону, импульс, скорость и ускорение изменяются тоже по нему.
Свободные колебания
Когда колебание совершается в системе благодаря первоначальной энергии, то его называют свободным. В качестве практического отображения такого типа физического процесса используют специальные модели: пружинный и математический маятники. Они позволяют работать с самыми распространёнными ситуациями. В качестве математического маятника принимают точку, что колеблется и висит на нерастяжимой и невесомой нити. Такого устройства на земле нет. Поэтому ближе всего к теоретической модели находится конструкция, составленная из шара, диаметр (размер) которого значительно меньше, чем длина нити. Необходимо провести действия физического характера. Отклоните такой шар от своего начального положения и отпустите. И так любой экспериментатор сможет увидеть механические колебания. Период, а также их частота зависят исключительно от параметров системы: длины нити математического маятника, жесткости пружины, массы груза (важно для пружинного маятника). Именно из-за этого свободные колебания ещё называют собственными колебаниями системы. Вполне логично. А частоту, с которой всё происходит, называют системной.
Превращение энергии при механических колебаниях
Потенциальная и кинетическая энергии при движениях тела переходят одна в другую. И то же самое - наоборот. Когда система отклоняется от начального положения равновесия на наибольшее возможное значение, то потенциальная энергия тоже достигает своего максимального значения, тогда как кинетика тела - минимального. Отдельно следует сказать об одном заблуждении, популярном среди людей. Когда достигается положение равновесия, то потенциальная энергия находится в точке своего минимума (обычно считают, что здесь она равняется нулю), тогда как кинетика (а это и импульс тела, и скорость его движения) достигает максимума. На практике учитывается ещё кое-что. В реальных системах присутствуют не потенциальные силы, значение которых не равняется нулю. Энергия системы растрачивается за счёт работы сил опоры, трения воздуха, внутренних сил пружины или подвеса. Постепенно уменьшается амплитуда колебания тела. Такие колебания и называются затухающими. Если сила трения слишком велика, то весь запас энергии может быть израсходован уже за период одного колебания, и движение тела не будет периодическим.
Вынужденные колебания
Под вынужденными колебаниями понимают те из них, которые происходят под влиянием внешней силы, совершающей работу, что меняется во времени. Есть и другая формулировка. Благодаря внешнему притоку энергии, она в самой системе поддерживается на достаточном уровне, чтобы происходили собственно колебания. Чтобы понять это, необходимо провести параллели с реальностью. Примером предмета, совершающего такого вида колебания, являются качели, на которых сидит один человек, а второй его раскачивает. Есть один нюанс. Если внешняя сила компенсирует потерю энергии в системе непрерывно или периодически, без прекращения самого процесса колебаний, то их называют незатухающими вынужденными.
О диапазоне можно отметить следующее. Амплитуда вынужденных колебаний полностью определена силой, которая действует извне, а также соотношением между собственными частотами принимающих участие в процессе сторон. И тут имеет место одно интересное явление. При вынужденных колебаниях периодически можно наблюдать резкое возрастание амплитуды, которое называется резонансом.
Резонанс
Он возникает в тех случаях, когда сила, что влияет на систему, становится очень близкой к её частоте колебаний. Возможен и другой вариант. В том случае, если частота влияющей силы кратна колебаниям самой системы, на которую она воздействует, тоже возникает резонанс. Как он графически изображается? Зависимость амплитуд колебания системы от частоты влияющей силы выражают с помощью резонансной кривой.
Автоколебания
Свое применение автоколебания нашли в технике. Они существуют там, где незатухающие колебания поддерживаются благодаря энергии источника, который может автоматически включать и выключать сама система. В таких случаях можно всерьез рассматривать вопрос присвоения системе статуса автоколебательной. Почему? Тот момент, когда нужно подавать энергию для колебания, отслеживает подсистема, отвечающая за обратную связь. В зависимости от параметров тела, она может оказывать влияние сильно и сразу, или понемногу и постепенно. Она может открывать или закрывать возможность для поступления энергии в общую систему. Это её главное задание. В качестве примера автоколебательной системы можно вспомнить маятниковые часы, где источник энергии - это гиря, а анкерный механизм успешно справляется с ролью подсистемы обратной связи, регулирующей подачу кинетики, от которой зависят механические колебания.
Параметрические колебания
Под этим видом колебаний определяются те из них, которые происходят в системах, что периодически изменяют свои параметры. Что можно о них сказать? Единственное, чем определяются амплитуда и сила колебательной системы, - это её параметры.
Существуют разные виды колебаний в физике, характеризующиеся определенными параметрами. Рассмотрим их основные отличия, классификацию по разным факторам.
Основные определения
Под колебанием подразумевают процесс, в котором через равные промежутки времени основные характеристики движения имеют одинаковые значения.
Периодическими называют такие колебания, при которых значения основных величин повторяются через одинаковые промежутки времени (период колебаний).
Разновидности колебательных процессов
Рассмотрим основные виды колебаний, существующие в фундаментальной физике.
Свободными называют колебания, которые возникают в системе, не подвергающейся внешним переменным воздействиям после начального толчка.
В качестве примера свободных колебаний является математический маятник.
Те виды механических колебаний, которые возникают в системе под действием внешней переменной силы.
Особенности классификации
По физической природе выделяют следующие виды колебательных движений:
- механические;
- тепловые;
- электромагнитные;
- смешанные.
По варианту взаимодействия с окружающей средой
Виды колебаний по взаимодействию с окружающей средой выделяют несколько групп.
Вынужденные колебания появляются в системе при действии внешнего периодического действия. В качестве примеров такого вида колебаний можно рассмотреть движение рук, листья на деревьях.
Для вынужденных гармонических колебаний возможно появление резонанса, при котором при равных значениях частоты внешнего воздействия и осциллятора при резком возрастании амплитуды.
Собственные это колебания в системе под воздействием внутренних сил после того, когда она будет выведена из равновесного состояния. Простейшим вариантом свободных колебаний является движение груза, который подвешен на нити, либо прикреплен к пружине.
Автоколебаниями называют виды, при которых у системы есть определенный запас потенциальной энергии, идущей на совершение колебаний. Отличительной чертой их является тот факт, что амплитуда характеризуется свойствами самой системы, а не первоначальными условиями.
Для случайных колебаний внешняя нагрузка имеет случайное значение.
Основные параметры колебательных движений
Все виды колебаний имеют определенные характеристики, о которых следует упомянуть отдельно.
Амплитудой называют максимальное отклонение от положения равновесия отклонение колеблющейся величины, измеряется она в метрах.
Период является время одного полного колебания, через который повторяются характеристики системы, вычисляется в секундах.
Частота определяется количеством колебаний за единицу времени, она обратно пропорциональна периоду колебаний.
Фаза колебаний характеризует состояние системы.
Характеристика гармонических колебаний
Такие виды колебаний происходят по закону косинуса или синуса. Фурье удалось установить, что всякое периодическое колебание можно представить в виде суммы гармонических изменений путем разложения определенной функции в
В качестве примера можно рассмотреть маятник, имеющий определенный период и циклическую частоту.
Чем характеризуются такие виды колебаний? Физика считает идеализированной системой, которая состоит из материальной точки, которая подвешена на невесомой нерастяжимой нити, колеблется под воздействием силы тяжести.
Такие виды колебаний обладают определенной величиной энергии, они распространены в природе и технике.
При продолжительном колебательном движении происходит изменение координаты его центра масс, а при переменном токе меняется значение тока и напряжения в цепи.
Выделяют разные виды гармонических колебаний по физической природе: электромагнитные, механические и др.
В качестве вынужденных колебаний выступает тряска транспортного средства, которое передвигается по неровной дороге.
Основные отличия между вынужденными и свободными колебаниями
Эти виды электромагнитных колебаний отличаются по физическим характеристикам. Наличие сопротивления среды и силы трения приводят к затуханию свободных колебаний. В случае вынужденных колебаний потери энергии компенсируются ее дополнительным поступлением от внешнего источника.
Период пружинного маятника связывает массу тела и жесткость пружины. В случае математического маятника он зависит от длины нити.
При известном периоде можно вычислить собственную частоту колебательной системы.
В технике и природе существуют колебания с разными значениями частот. К примеру, маятник, который колеблется в Исаакиевском соборе в Петербурге, имеет частоту 0,05 Гц, а у атомов она составляет несколько миллионов мегагерц.
Через некоторый промежуток времени наблюдается затухание свободных колебаний. Именно поэтому в реальной практике применяют вынужденные колебания. Они востребованы в разнообразных вибрационных машинах. Вибромолот является ударно-вибрационной машиной, которая предназначается для забивки в грунт труб, свай, иных металлических конструкций.
Электромагнитные колебания
Характеристика видов колебаний предполагает анализ основных физических параметров: заряда, напряжения, силы тока. В качестве элементарной системы, которая используется для наблюдения электромагнитных колебаний, является колебательный контур. Он образуется при последовательном соединении катушки и конденсатора.
При замыкании цепи, в ней возникают свободные электромагнитные колебания, связанные с периодическими изменениями электрического заряда на конденсаторе и тока в катушке.
Свободными они являются благодаря тому, что при их совершении нет внешнего воздействия, а используется только энергия, которая запасена в самом контуре.
При отсутствии внешнего воздействия, через определенный промежуток времени, наблюдается затухание электромагнитного колебания. Причиной подобного явления будет постепенная разрядка конденсатора, а также сопротивление, которым в реальности обладает катушка.
Именно поэтому в реальном контуре происходят затухающие колебания. Уменьшение заряда на конденсаторе приводит к снижению значения энергии в сравнении с ее первоначальным показателем. Постепенно она выделится в виде тепла на соединительных проводах и катушке, конденсатор полностью разрядится, а электромагнитное колебание завершится.
Значение колебаний в науке и технике
Любые движения, которые обладают определенной степенью повторяемости, являются колебаниями. Например, математический маятник характеризуется систематическим отклонением в обе стороны от первоначального вертикального положения.
Для пружинного маятника одно полное колебание соответствует его движению вверх-вниз от начального положения.
В электрическом контуре, который обладает емкостью и индуктивностью, наблюдается повторение заряда на пластинах конденсатора. В чем причина колебательных движений? Маятник функционирует благодаря тому, что сила тяжести заставляет его возвращаться в первоначальное положение. В случае пружиной модели подобную функцию осуществляет сила упругости пружины. Проходя положение равновесия, груз имеет определенную скорость, поэтому по инерции движется мимо среднего состояния.
Электрические колебания можно объяснить разностью потенциалов, существующей между обкладками заряженного конденсатора. Даже при его полной разрядке ток не исчезает, осуществляется перезарядка.
В современной технике применяются колебания, которые существенно различаются по своей природе, степени повторяемости, характеру, а также «механизму» появления.
Механические колебания совершают струны музыкальных инструментов, морские волны, маятник. Химические колебания, связанные с изменением концентрации реагирующих веществ, учитывают при проведении различных взаимодействий.
Электромагнитные колебания позволяют создавать различные технические приспособления, например, телефон, ультразвуковые медицинские приборы.
Колебания яркости цефеид представляют особый интерес в астрофизике, их изучением занимаются ученые из разных стран.
Заключение
Все виды колебаний тесно связаны с огромным количеством технических процессов и физических явлений. Велико их практическое значение в самолетостроении, строительстве судов, возведении жилых комплексов, электротехнике, радиоэлектронике, медицине, фундаментальной науке. Примером типичного колебательного процесса в физиологии выступает движение сердечной мышцы. Механические колебания встречаются в органической и неорганической химии, метеорологии, а также во многих иных естественнонаучных областях.
Первые исследования математического маятника были проведены в семнадцатом веке, а к концу девятнадцатого столетия ученым удалось установить природу электромагнитных колебаний. Русский ученый Александр Попов, которого считают «отцом» радиосвязи, проводил свои эксперименты именно на основе теории электромагнитных колебаний, результатах исследований Томсона, Гюйгенса, Рэлея. Ему удалось найти практическое применение электромагнитным колебаниям, использовать их для передачи радиосигнала на большое расстояние.
Академик П. Н. Лебедев на протяжении многих лет проводил эксперименты, связанные с получение электромагнитных колебаний высокой частоты с помощью переменны электрических полей. Благодаря многочисленным экспериментам, связанные с различными видами колебаний, ученым удалось найти области их оптимального использования в современной науке и технике.